Правильно: стрижка каре.
Правильно: платок на рту.
Выход бывает запАсный и запаснОй. Подробнее здесь.
Если имеется в виду прическа, сочетание корректно.
Верно: павловопосадский (от Павловский Посад); но: Павлово-Посадский район.
Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), имя композитора не склоняется: (балеты) Кара Караева.
О двух не составляющих пары предметах правильно: двое плавок.
О правильном порядке слов в этом предложении можно судить только по контексту.